קצת הרהורים בשאלות של תורת היחסות

1 – לגבי השאלה שהעלית האם עיקום המרחב מחייב להניח שיש מימד חמישי שלתוכו המרחב מתעקם.
כשאנחנו מעלים בדעתנו מרחב דו מימדי עקום (יותר נוח לי לחשוב על מרחב דו מימדי שמתעקם), אנחנו מייד חושבים שהוא מתעקם לתוך התלת מימד, אבל זה רק בגלל שיש לנו התנייה פסיכולוגית לחשוב על מרחב אויקלידי ישר. כדי לתפוס לפי הרגלנו למרחב אויקלידי ישר אנחנו מעלים בדעתנו מרחב תלת מימדי שהוא ישר ואויקלידי, שבתוכו כל נקודה במרחב הדו מימדי העקום יש לה קואורדינטות קרטזיות פשוטות וישרות לפי המבט התלת מימדי שכופה את עצמו עלינו מסיבה זו.
אם נבין שמרחב לא חייב להיות אויקלידי ואפשר שיהיה מרחב רימן שבו קווים מקבילים נפגשים והיחס בין היקף מעגל לקוטרו הוא פחות מפאי בדיוק באותה מידה שאפשר שיהיה מרחב אויקלידי, כבר אין שום צורך לחשוב על מימד נוסף כדי שהמרחב יוכל "להתעקם לתוכו". "עקום" זה רק אומר שאינו אויקלידי ותו לא. רק במשקפיים אויקלידיות צריך עוד מימד שהעקום יתעקם לתוכו ואז יתיישר מהמבט האויקלידי. מי שגדל במרחב רימן עבורו זה הישר והאויקלידי עקום.  מרחב רימן יכול להיות פשוט כמו שהוא עם חוקיו שרק בעינינו האויקלידיות נחשב עקום.

.

אם עדיין מוכרחים לחשוב על מקום כלשהו שלשם המרחב מתעקם, עדיין לא צריך לחשוב על מימד נוסף.
באותו ספר של איינשטיין ("על תורת היחסות הפרטית והכללית" מאת אלברט איינשטיין בהוצאת מגנס) בנספח 5 הוא מביא את הטיעון של דקארט שאין דבר כזה מרחב ריק, כי רק גוף יכול לתפוס מקום, 'משהו' יכול לתפוס מקום ושיהיה לו אורך גובה ועומק, 'לא-כלום' לא יכול לתפוס מקום וממילא אין לו אורך גובה ועומק ונמצא שאי אפשר לחשוב על מרחב ריק. לא נובע מזה בהכרח שהחומר הקיים הוא רצף, ייתכן שתהיה הפסקה ברצף החומר, רק ששם לא יהיה גם מרחב. מקום שאין בו מרחב תלת מימדי ריק לכאורה אין אפשרות פוטנציאלית שייכנס לשם חומר (שהרי אין מיכל ריק תלת מימדי שהוא כמו תיבה שאפשר להכניס לתוכה את החומר, ובעצם זה לא 'מקום' ואיך ייכנס לשם החומר) אבל זה לא כך. למשל לפי המפץ הגדול, נדמה לי שהטענה שלפני המפץ לא היה מרחב. היקום מתפשט מנקודת המפץ החוצה, לתוך איזה מרחב היקום נכנס כשהוא מתפשט? אם היקום היה מתפשט לתוך מרחב ריק, חלל ריק, אם כן זה לא היקום שמתפשט אלא רק החומר שביקום נע מנקודת המפץ והלאה והיקום עצמו הוא החלל הריק שלתוכו נע החומר. חלל ריק זה כלול בתוך היקום וחלק ממנו. מה שמחוץ ליקום אינו חלל ריק, אינו חלל או מרחב כלל, ועדיין היקום יכול להתפשט לתוכו.
הבילבול נובע מכך שנדמה לנו שהתפשטות של משהו היא בהכרח ביחס למערכת ייחוס נבדלת ממנו, כמו שתנועה של משהו מוכרחה להיות ביחס למערכת ייחוס כלשהי נבדלת ממנו. ואז כמו שכדי לחשוב על תנועה מוכרחים לחשוב תנועה ביחס למשהו, כך חושבים על התפשטות ביחס למשהו, והמשהו הזה הוא המרחב הריק שמחוץ לגוף המתפשט וביחס אליו ההתפשטות.
אבל זו טעות, תנועה אינה יכולה להיות ביחס לחלל הריק, אם היה אפשר לחשוב על תנועה יחסית לחלל הריק הרי החלל הריק היה המערכת האינרטית של גלילאי וניוטון שכל מה שנע במהירות קבועה אליה הוא גם אינרטי וכל הקושיא של היחסות על כך שאין דבר כזה מערכת אינרטית, או לפחות אי אפשר למצאה ולהגדירה, היתה מתבטלת.
אם נניח היה ביקום רק טיל אחד ותו לא, והוא היה מבעיר דלק ומפעיל את מנועו והרי הופעלה עליו אנרגיה קינטית ונובע מזה שהוא הואץ, אבל כיוון שהתנועה היא לא ביחס לשום דבר אי אפשר לדבר כאן על תנועה והיינו אומרים שהפעלת האנרגיה הקינטית על הטיל יצרה בתוכו כבידה (לפי השקילות בין תאוצה לכבידה) ולשם הלכה האנרגיה של הפעלת בערת מנוע הטיל, ולא שהניעה אותו. יוצא שקיימת תנועה שאינה ביחס לשום דבר רק שהיא מתבטאת כיצירת כח כבידה ולא כתנועה. כלומר יש לה ביטוי אימננטי בתוך הגוף הנע בלי ייחוס לשום דבר חיצוני.
ככה גם התפשטות גוף יכולה להיות משהו אימננטי בתוך עצמו ולא בהכרח ביחס למשהו חיצוני, יש שינוי ביחס בין חלקיו, המרחק ביניהם גדל, זה ביטוי אימננטי בתוך היקום של היותו מתפשט והוא לא צריך להתפשט ביחס לחלל ריק כלשהו הנמצא מחוץ לו (וזו סתירה מיניה וביה שאם היה חלל ריק מחוץ ליקום הרי החלל הזה הוא חלק מהיקום עצמו). ככה גם הוא יכול להיות עקום כשהעקימות יש לה ביטוי אימננטי בתוכו שהקווים המקבילים בו נפגשים והיחס בין קוטר להיקף קטן מפאי וכיו"ב תכונות שבתוך היקום עצמו שמבטאות את עקימותו ואין צורך לחשוב שהעקימות היא ביחס לחלל או מקום חיצוניים שלשם הוא מתעקם ולכן אין צורך לחשוב על מימד חמישי.
נניח שכדי להבין שחלל דו מימדי מתעקם צריך לומר שהוא מתעקם לתוך מימד שלישי, אם החלל התלת מימדי ישר ממילא גם הדו מימדי שבתוכו ישר אם מסתכלים עליו כעת במבט של 3 קואורדינטות ולא רק שתיים, שהרי אם הדו מימדי התעקם לתוך תלת מימדי בהכרח מעכשיו לכל נקודה בחלל הדו מימדי העקום יכולה להיות הגדרה בעזרת 3 מספרי קואורדינטה והם יגדירו אותה כמו במרחב אויקלידי פשוט וישר. וכדי לשמור על העוקם של המרחב הדו מימדי נצטרך לומר שהמרחב התלת מימדי עקום גם הוא ורק אז בעזרת טרנספורמציה מסובכת נוכל לשמור על עקימות המרחב הדו-מימדי גם כשכל נקודה בו תוגדר בעזרת 3 מספרי קואורדינטות, ואז נוכרח להמציא מימד רביעי שלתוכו התעקם המרחב התלת מימדי ואז חמישי וכן הלאה.

.

*

.

2 – לגבי פרדוקס התאומים (תאום אחד נשאר כאן והשני נסע בתוך טיל במהירות קרובה למהירות האור וזה שנסע נשאר צעיר כי הזמן מאט כשנוסעים מהר וזה שנשאר הזדקן הרבה. וקשה שלפי היחסות התנועה יחסית ואפשר לומר שהנוסע בטיל הוא זה שעומד במקום ואחיו שנשאר על הארץ הוא זה שנע כלפיו והוא זה שיהיה יותר צעיר) שכתבת שהתירוץ הוא שמי שנסע במהירות האור עשה סיבוב וחזר ונמצא שהאיץ ולכן הוא זה שלא הזדקנן, (אגב לפי איינשטיין שם עמוד 73 במרחב רימן אפשר לנוע בקו ישר ולחזור לאותה נקודה).
לא הבנתי למה זה מוצג כפרדוקס ותירוץ, כי התירוץ נראה לי מובן מאליו.

הנה אם נהג נוסע ולוחץ על דוושת הדלק ומאיץ, הוא יכול לומר לפי היחסות שהוא נשאר במקום וכדור הארץ ובעצם כל היקום הם שהאיצו בכיוון ההפוך. אבל לכאורה קשה שהרי היסוד של ניוטון שגוף לא יאיץ סתם כך מעצמו אלא אם כן כח הופעל עליו נשאר תקף גם אצל איינשטיין. הכח היחיד שהופעל כאן הוא כח המנוע ששרף כך וכך דלק. לפי חוקים שגם איינשטיין מודה בהם, לא ייתכן שכמות כזו של דלק שנשרף תייצר מספיק כח להניע את כל כדור הארץ בתאוצה כזו. גם הירח מאיץ ביחס אליו ואיך הופעלה תאוצה על הירח בלי ששום דבר נגע בו.
אלא וודאי פשוט שאיינשטיין מודה שיש תוקף לקבוע שגוף א' וגוף ב' שנעים זה ביחס לזה, גוף א' ייחשב אינרטי יחסית לגוף ב' וגוף ב' ייחשב שהוא זה שנע ביחס לגוף א'.
אם יש בעולם רק שני טילים הנוסעים זה לצד זה במהירות שווה, ופתאום טיל א' הבעיר מנוע והואץ. חייבים לקבוע שטיל א' הוא זה שהואץ ביחס לטיל ב', וטיל ב' נשאר אינרטי ביחס לטיל א', מהטעם הפשוט שעל טיל א' הופעלה אנרגיה קינטית ועל טיל ב' לא.
זה לא סותר כלל ליחסות הכללית, כי איינשטיין רק לא הסכים לקבל שיש מערכת שהיא אינרטית באופן מוחלט ושונה בכך מהותית ממערכת שאינה אינרטית, ושחוקי התנועה יוגדרו כתקפים רק במערכת שהיא אינרטית "באמת". אנחנו נשארים עם זה שחוקי הטבע תקפים בכל מערכת ייחוס שהיא, ומה שקובעים שטיל ב' אינרטי זה רק ביחס לטיל א', ביחס לעצמים אחרים הוא יכול להחשב מואץ. למשל שני הטילים נעו זה לצד זה בתאוצה קבועה ביחס לתחנת החלל, ואז טיל א' הבעיר מנוע והגביר תאוצה, כמות התנועה המסויימת שנוצרה מהבערת המנוע ושלפי חוק שימור האנרגיה הבערת הדלק ייצרה כמות אנרגיה השווה לתנועה זו, ייצרה תנועה שרק לגביה אומרים שטיל א' הוא הנע וטיל ב' הוא האינרטי, ובה בעת טיל ב' מואץ ביחס לתחנת החלל. איינשטיין בהכרח לא שלל אינרטיות יחסית אלא רק מוחלטת אם השאיר את חוק שימור האנרגיה ואת החוק שגוף מאיץ לא באופן שרירותי אלא רק אם מופעל עליו כח.
אם שני התאומים היו במקום אחד והאחד הבעיר מנוע שהפעיל עליו אנרגיה קינטית והאיץ אותו ביחס לאחיו שעליו לא הופעלה אנרגיה קינטית, מכח העובדה שגוף לא יואץ בלי שיופעל עליו כח מובן מאליו שבתנועה היחסית שבין שניהם הנוסע בטיך הא זה שנע וזה שלא הופעל עליו כח להניעו הוא האינרטי.

 

באותו ספר של איינשטיין, חלק שני סע' 20, עמ' 46, כותב:

"ניתן היה אפוא להגיע בקלות למסקנה שקיומו של שדה כבידה הוא תמיד רק עניין מדומה. ניתן היה לחשוב שעבור שדה כבידה נתון כלשהו תמיד אפשר יהיה לבחור גוף ייחוס אחר שביחס אליו לא יתקיים כלל שדה כבידה. אך הדברים בשום אופן אינם נכונים לכל שדות הכבידה, אלא רק לגבי כאלה שהם בעלי מבנה מיוחד ביותר. כך למשל, אין כל אפשרות לבחור גוף ייחוס שמנקודת הראות שלו, שדה הכבידה של כדור הארץ (בהשתרעותו הכוללת) ייעלם."

איינשטיין נשאר עם ההסתכלות שיש עולם אובייקטיבי שביחס אליו ניתן לומר כך היא האמת ולכן יש תוקף לניסויים אמפיריים והוא עדיין פיזיקאי ולא פילוסוף טהור.
אין כוונתו שהאמת היא תמיד שכל כח כבידה הוא בעצם תאוצה או להיפך. כוונתו רק שמבחינת ההגדרות של התיאוריה אתה יכול לבחור באיזו נקודת ייחוס ש"אתה רוצה" ולהגדיר משם מה נע ומה עומד, מה כבידה ומה תאוצה. אבל הכוונה שמן הסתם "אתה רוצה" לבחור בנקודת הייחוס שלפי תצפיות וחוקי טבע אתה משוכנע שהיא זו האמיתית.
אם אני לוחץ על דוושת מכונית והיא מאיצה, אני רוצה ובוחר לומר שהיא זו שהאיצה ביחס לארץ כי התצפית היא שהתאוצה נגרמה משריפת כך וכך בנזין ולא ייתכן שזה האיץ את הארץ. ואני בוחר לומר שהגב שלי נלחץ למשענת בגלל תאוצה ולא כי הלחיצה על הדוושה יצרה כח כבידה אופקי זמני חדש. כי לפי הידוע לנו פעולת מנוע לא יכולה ליצור כח כבידה אופקי זמני. אם אדע חוקי טבע אחרים ותהיינה לי תצפיות אחרות, התיאוריה מאפשרת לי לומר שהארץ האיצה והגב מופעל מכח כבידה. השקילות היא רק מתימטית ולפי הגדרות התיאוריה, היא רק מיכל ריק היכול להכיל מה שנבחר לפי התצפיות והידע שלנו כרגע על הטבע. היא לא אומרת שבאמת בעולם הקונקרטי זה שקול. לכן בלי תצפיות ובלי מידע על חוקי טבע אחרים, אם אני במעלית סגורה לא אוכל להבחין אם אני מואץ או שמופעל עלי כח כבידה, וכשאין שום אינפורמציה נוספת לא אוכל להבחין לפי הגדרות התיאוריה בלבד האם אני נע ביחס לא' או שהוא נע ביחס אלי. בניגוד לניוטון שהניח מערכת אינרטית מצד עצמה בהגדרתה.  אבל אחרי שיש לי תצפיות שאומרות שאני שרפתי דלק והוא לא, בוודאי אוכל לקבוע שאני נע ביחס אליו ולא להיפך, או אם יש ידע שכח כבידה לא נוצר אופקית וזמנית מכח לחיצה על דוושה, זה גורם לי להחליט שהואצתי ולא שהופעל עלי כח כבידה.

.

*

.

3 – בדיון איך עובד כח הכבידה לפי התיאוריה של המרחב העקום.
אם גוף א' עומד בחלל במנוחה ביחס לגוף ב' והגרביטציה ביניהם חלשה מכדי להניעם, לגוף ב' גדלה המסה פתאום וכעת גוף א' מתחדשת אצלו תנועה מואצת של נפילה אל ב'. (או שגוף ב' התקרב לגוף א' ולכד אותו בשדה הכבידה שלו).
השאלה היא מכיוון שנשארנו עם ניוטון שאמר שגוף לא ינוע בלי כח שהופעל עליו והניעו, מה אם כן הכח שהופעל על גוף א' ופתאום הניעו.
לניוטון היתה תשובה פשוטה, כח הכבידה פעל והניע. זה כמובן מוזר כי אין תווך שמחבר ביניהם וגם לא גלים, ולכאורה הגוף מייד יודע שנכנס מישהו לקרבתו וצריך ליפול עליו וזה עובר מהר יותר מהאור. אבל כל דבר מוזר עד שמתרגלים ולפי ניוטון זה פשוט כך.

.

בספר על תורת היחסות הפרטית והכללית חלק שני מסע' 23 והלאה, מסביר איינשטיין בבהירות כיצד מכריחה תורת היחסות לומר שהמרחב במקום בו שורר כח כבידה הוא עקום, כלומר לא אויקלידי. כח הכבידה משפיע על הסרגלים להתקצר כי הוא שקול לתאוצה והיא משפיעה על הסרגלים להתקצר לפי היחסות הפרטית. התקצרות הסרגלים גורמת למשל למדוד שיחס ההיקף של המעגל לקוטרו שונה מפאי, ועוד כיו"ב כמו שמבואר שם. וזה מכריח אותנו לתאר את המרחב לפי קואורדינטות גאוסיות ולא אויקלידיות.

אפשר לומר שעדיין קיים כח קינטי שפועל להניע גופים כמו שראה ניוטון וחוץ מזה בשדה גרביטציה יש עיקום של המרחב. קרן אור נעה מכח עצמה ולא כי הכבידה הניעה אותה, עקימות המרחב סביב המסה הכבידתית של השמש רק מעקמת את מסלולה ולא מניעה אותה. בשינוי הכיוון אין תאוצה כי לא הקרן היא ששינתה כיוון אלא רק החלל בו היא נעה מגדיר באותה סביבה של שדה הגרביטציה של השמש ששם קו ישר הוא קשת, ואז היא יוצאת משדה הגרביטציה של השמש ומגיעה אלינו וכאן הקו ששם הוגדר כישר כעת חוזר להיות מוגדר כעקום ולכן בעיניים שלנו רואים עיקום. אבל הקרן תמיד נעה רק ישר ולכן לא הואצה, רק ההגדרות מה נחשב ישר השתנו פעמיים ויצרו אשליה של תנועה מואצת בגלל שינוי כיוון המהירות. לעומת זאת אבן נחה לא תתחיל לנוע רק בגלל עיקום מרחב אלא כאן כבר צריך להסתכלות של ניוטון שכבידה היא כח מכני מניע.

 

זה מאוד לא אלגנטי לומר שיש בכבידה שני עניינים נפרדים, עיקום מרחב וכח מניע מכני ניוטוני. במיוחד שהכח הניוטוני מוזר.
אי אפשר לאחד ולומר שיש רק כח משיכה במובן הניוטוני שהוא זה שעיקם את המרחב, כי מרחב אין לו מסה גרביטציונית, כלומר משקל, והוא לא מתעקם על דרך המכניקה הניוטונית כמו חתיכת פח בגלל משקלו.
אולי נאמר שאם גוף א' מתחיל לנוע פתאום לכיוון גוף ב' בגלל שנלכד בשדה הכבידה שלו, אין זו אלא תנועה מדומה. ההגדרה של תנועה היא מעבר של הגוף מקואורדינטות בעלות ערכים מסויימים לקואורדינטות בעלות ערכים אחרים. לא חשוב אם הן קואורדינטות קרטזיות או גאוסיות. יכול להיות שמספרי הקואורדינטות של הגוף השתנו לא בגלל שהוא נע בתוך קואורדינטות המרחב אלא בגלל שהמרחב פתאום התעקם ולכן הקואורדינטות שלו השתנו.
לדעתי בהתבוננות מעמיקה יותר, שקשה לי לנסחה, זה רק משחק מילים ולא תוכן אמיתי וזה לא מסביר מניין התחילה תאוצת הנפילה אם לא מכח מכני קינטי כמו ניוטון.
גם קל לסתור את זה כי אם מישהו על הארץ זרק אבן למעלה והיא נעצרת ונופלת חזרה, כאן לא היה שינוי בעקימות המרחב והוא עקום באותה מידה מתחילת הניסוי עד סופו. ואם אשאל מה הסיבה שעצרה את האבן והפילה אותה בחזרה זה לא שינוי בקואורדינטות המרחב.
גם אין לומר שמסלול האבן לעלות וליפול חזרה מוגדר קו ישר במרחב העקום והיא בעצם נעה ישר כל הזמן. כי הנפילה הגרביטציונית היא בתאוצה, ותאוצה דורשת כח לפי חוק שימור האנרגיה לפחות, אם לא נרצה להשתמש במכניקת ניוטון. נניח שהיד שלי שזרקה את האבן למעלה השקיעה בו כמות X של כח. כמות כח כזו בנתון מסה אינרטית מסויימת של האבן יכולה להעניק לה רק כמות תאוצה מסויימת. אם נאמר שכל מסלול האבן הוא קו שמוגדר ישר במרחב העקום הגרביטציוני, עדיין נמצא שלאורך קו זה היתה תאוצה שהיא יותר גדולה ממה שאמור להיות לפי כמות הכח שהופעל על ידי הזורק, ושוב בהכרח צריך לחזור לניוטון שכח הכבידה מפעיל כח מניע קינטי על עצמים, ועקימות המרחב סביב מקור כח כבידה היא תופעה נפרדת שלא קשורה לתנועת הנפילה של עצמים לשם.

.

.

כתבת (עמ' 182):

"כמו כן, עצמים הנמצאים בקרבת הכוכב ינועו, תחילה לאט ואחר כך במהירות גוברת, כלפיו. זו הכבידה המוכרת לנו. אבל העצמים האלה, על-פי איינשטיין, הם במצב מנוחה ביחס לחלל שסביבם, רק שהחלל הזה מתעקם כלפי הכוכב.

עכשיו הפעיל איינשטיין שיקול של סימטריה: אם א' משפיע על ב', חייב ב' להשפיע ב/אותה מידה על א'. לכן, אם המאסה מעקמת את המרחב-זמן מסביבה, גם המרחב-זמן פועל על המאסה ומשפיע על מסלולה! וכך איחד שני חוקים: 1)חוק ההתמדה של ניוטון, האומר שגוף יישאר במצבו כל עוד לא הופעל עליו כוח, ו-2)חוק הכבידה, לפיו עצמים נמשכים זה לזה. חוק הכבידה הוא רק מקרה פרטי של חוק ההתמדה!"

.

דברים דומים כתובים באתר של מכון דוידסון (ובעוד מקומות רבים כותבים כעין זה, וביניהם בספר Richard Feynman ,Six not so easy pieces חלק שישי):

"על פי תורת היחסות הכללית של איינשטיין הכבידה (כוח משיכה) היא למעשה ביטוי של עיקום המרחב-זמן. כל מסה ביקום גורמת לעיוות סביבה ביחס ישר לגודל המסה, כלומר מסה גדולה יותר תגרום לעיקום גדול יותר.

לדוגמא:
אם נניח כדור על יריעה מתוחה הרי שהכדור ייצור שקע מסוים (בתלות במסתו) על פני היריעה. אם כעת נניח כדור קטן על פני היריעה הוא יתגלגל וייפול לעבר הכדור הראשון. אם לחילופין נניח כדור נוסף יותר גדול הוא ייצור שקע יותר עמוק ביריעה וכעת הכדור הראשון יתגלגל לעברו. כלומר, מסה גדולה יותר גורמת לשקע גדול יותר המתבטא במשיכה גדולה יותר; כל מסה קטנה יותר תיצור שקע קטן יותר במרחב-זמן ולכן טיפול מטה לעבר המסה הגדולה יותר לכן למסות גדולות יותר יש כוח משיכה גדול יותר."

עד כאן מה שכתבו שם.

בהמחשה מתואר כדור שיצר שקע על יריעה ואחר כך כדור קטן שהיה על היריעה התגלגל לעברו.
אם באמת בחצר הבית נמתח יריעה שיש עליה כדור קטן נח, ונניח עליה כדור כבד יותר, הכדור הקטן יתחיל לנוע לכיוון הכדור הכבד. וזה בגלל כח הגרביטציה של כדור הארץ שמושך את הכדור הקטן למקום הכי נמוך על היריעה.
אבל אם אני זורק אבן כלפי מעלה הרי המרחב לא השתנה מבחינת עקימותו, כי כח הכבידה של כדור הארץ לא השתנה מזריקתי את האבן עד נפילתה, וכח הכבידה מפעיל תאוצה על האבן לעצור את זריקתי, עד לעצירה מוחלטת ואז לנפילה חזרה. איך התאוצה הזו יכולה לנבע מעקימות המרחב? זה לא דומה כלל להמחשה עם היריעה האלסטית ששם הכדור הקטן מואץ כי הוא נמשך למטה על ידי הכבידה בהסבר הניוטוני שלה)

.

לא ראיתי את לשונו של איינשטיין כשהוא אומר את זה. זה תמוה מאוד בעיני, ולא אתפלא אם זה פירוש מוטעה לדבריו (כמו בפרדוקס התאומים שמבלבלים בין מה שאיינשטיין אמר שעקרונית ניתן לבחור בכל נקודת ייחוס לבין כך שהאמת הפיזיקלית יכולה להביא הוכחה שבמקרה מסויים התנועה היא דווקא של א' יחסית לב' ולא להיפך. או שחושבים שאיינשטיין התכוון שזו אמת פיזיקלית שכל כבידה היא בעצם תאוצה ולהיפך, ולעיל הבאתי שהוא כתב מפורש לא כך אלא רק שעקרוני ניתן להציג כל כבידה במונחי תאוצה ולהיפך) .

נראה גם שהפיזיקה לא קיבלה את הרעיון הזה, גם אם באמת איינשטיין אמר אותו. הרי גלי כבידה נחזו ואולי נתגלו כיוון שזה כמו כשמגנט נע הוא יוצר שדה אלקטרי, וזה מראה שמפרשים את הכבידה ככח אמיתי כמו הכח החשמלי ולא ככח מדומה.

כעת מחפשים למצוא גרביטונים, שהם בוזונים נושאי כבידה שנחזו לפי המודל הסטנדרטי וטרם נתגלו, וגם זה מראה שלא התקבלה הדעה שכבידה היא כח מדומה.
.

.

כשטיל טס למעלה במהירות מואצת וקרן אור חודרת לתוכו בנקודה מסויימת מימין, עד שהיא מגיעה לקיר השמאלי של הטיל עובר מעט זמן ובו הטיל התרומם עוד, ולכן הקרן תפגע בקיר השמאלי במקום נמוך מעט ממקומה של הנקודה בקיר הימני ממנה היא נכנסה. הצופים בתוך הטיל רשאים לומר שהטיל עומד, ומה שהתאוצה גורמת להם להיצמד לרצפה ושחפצים הנשמטים מהיד יפלו לרצפה, זה כח גרביטציה ולא תאוצה. הצופים שבטיל רואים שקרן האור התעקמה, שהרי פגעה בקיר השמאלי במקום יותר נמוך מהנקודה בה נכנסה מהקיר הנגדי, ויוצא מזה שלפי תצפיתם הגרביטציה עיקמה את קרן האור. ואכן נתגלה שקרן אור שעוברת ליד השמש מתעקמת מכח הגרביטציה של השמש.

מקודם כתבתי שמה שכל תנועה יכולה להחשב מנוחה והאחרים הם שנעים יחסית אליה, זה רק כעקרון שמתיר לחשב זאת כך מבחינה לוגית, אבל בוודאי אין מניעה להביא ראיות מהמציאות מי נע ביחס למי. שהרי גוף צריך שיופעל עליו כח כדי לשנות את מהירותו, ואם שני טילים טסים במקביל באותה מהירות והאחד הבעיר מנוע והואץ והשני לא הבעיר מאומה, העובדה שצריך להשקיע אנרגיה כדי להאיץ גוף מוכיחה שזה שהבעיר מנוע הוא זה שנע ביחס לזה שלא הבעיר. שאם נגיד שזה שלא הבעיר הוא זה שהאיץ בכיוון ההפוך, וזה שהבעיר נח, יהיה קשה איך היתה האה בלי השקעת אנרגיה ומצד שני איך הופעל מנוע ולא השפיע על מהירות הטיל.

לפי זה נאמר גם כאן,

מי שצופה במקום נייח ביחס לקרן האור, מחוץ לטיל, רואה אותה ישרה. מי שנמצא בתוך הטיל רואה אותה עקומה. האם הופעל כח כלשהו על קרן האור שיוכל לעקם אותה? היא לא נגעה במאומה, שום אנרגיה לא הופעלה עליה, אין שום סיבה פיזיקלית שיכולה להסביר את התעקמותה. לכן מוכרחים לומר שהיא עצמה לא השתנתה ומה שהשתנה זה רק אצל הצופים ומערכת הייחוס שלהם ודרך המדידה שלהם.

איינשטיין הניח עקרון שכל כבידה יכולה להיות מתוארת כתאוצה וכל תאוצה ככבידה. מכיוון שבתאוצה קרן האור מתעקמת בהכרח יהיה כך גם בכבידה ואכן הוכח שקרן אור ליד השמש מתעקמת.

מה ההסבר לזה? בתאוצה התעקמות קרן האור מובנת היטב ובפשטות, מהירות הטיל גורמת באופן מובן שהקרן תיפול במקום יותר נמוך בקיר השמאלי. מה ההסבר שכח כבידה יעקם קרן אור איך אפשר להבין את זה?

בטיל מואץ, שעון שנמצא במקום גבוה בטיל יפעל מהר יותר משעון שבתחתית הטיל. זה גם מוסבר בפשטות על ידי תנועת הטיל שגורמת לקרן האור להגיע מהר יותר. זה מוסבר היטב כאן (באנגלית קלה): תנועת שעונים בשדה גרביטציה.

לפי העקרון של איינשטיין שיש שקילות בין תאוצה לגרביטציה עולה שגם שדה של כח כבידה ישפיע על מהירות השעונים בהתאם למיקומם ביחס למקור שדה הכבידה, באותו אופן שתאוצה היתה משפיעה עליהם בהתאם למקומם בחלל המואץ.

אומנם כעת צריך להסביר איך ייתכן שכח כבידה ישפיע על שעונים? הרי לא ידוע שכח חשמלי ישפיע על מהירות שעון, וכיצד ייתכן שכח כבידה ישפיע עליה?

צריך להמשיך עם האנלוגיה של איינשטיין בין תאוצה לכבידה. במצב של תאוצה העיקום של קרן האור והשינוי במהירות השעונים, לא נגרם על ידי שינוי בקרן האור עצמה שהרי לא פעל עליה שום גורם פיזיקלי כמו אנרגיה כלשהי שהיה יכול לעשות שינוי במסלולה, אלא העיקום נגרם רק בגלל המקום שנמצאים בו הצופים ומכח זה בדרך המדידה אצלם. וכך גם בשעונים.

לכן נאמר כך גם בכבידה, שלא היה שינוי בקרן האור עצמה או בשעונים עצמם, אלא המרחב התעקם ובגלל עיקומו תוצאות המדידה כעת גורמות למדוד את קרן האור כעקומה ואת השעונים כמשנים מהירותם.

בספר Six not so easy pieces  מאת Richard Feynman בפרק שישי מוסבר היטב שעיקום המרחב פירושו רק שהמדידות בו נותנות תוצאות לא אויקלידיות.

(אגב, למי שכמוני לא למד פיזיקה ומעוניין לקבל מושג על מה מדובר, אני יכול להמליץ להתחיל משני ספרים מאת איינשטיין בעברית (אחד מהם נכתב בשיתוף איינפלד), ובאנגלית קלה הספרים של ריצ'רד פיינמן מאוד מומלצים. רוב הספרים הפופולריים לוקים בחוסר חדות ועקביות ואלה שומרים על דיוק מקסימלי למרות ההסברה הלא מקצועית).

בתאוצה הכח שהופעל על קרן האור להתעקם ועל השעונים לשנות מהירות הוא כח מדומה. לא הופעל כח פיזיקלי כמו אנרגיה וכיו"ב במובן הניוטוני על קרן האור או השעונים ולכן בהכרח הם לא השתנו בעצמם, כי שום דבר לא משתנה כך סתם בלי שהופעלה עליו סיבה פיזיקלית כגון כח חיצוני.

אמנם מה שבטיל מואץ האנשים מרגישים כובד, וחפצים שנשמטים מידיהם נופלים, זה תוצאה מהפעלת כח אמיתי. המנוע של הטיל הובער והפעיל כח דחיפה על הטיל. הכח האמיתי (במובן הניוטוני) הזה דחף את קרקעית הטיל מעלה, אם אדם בתוך הטיל שמט תפוח מידו, התפוח לפני שנגע בקרקעית הטיל נשאר עומד במקומו כיוון שלא הופעלה עליו הדחיפה של מנועי הטיל כי קרקעית הטיל עוד לא נגעה בו. קרקעית הטיל מתקרבת לתפוח מכח דחיפת המנוע, וזה מה שיוצר את תופעת כח הכבידה לצופים בתוך הטיל, עד שרקעית הטיל נוגעת בתפוח (וזה נחשב בעיני הצופים מבפנים שהתפוח נפל על הרצפה), ודוחפת אותו ועל ידי הדחיפה היא מצמידה אותו אליה.

תנועת נפילת התפוח בטיל והיצמדותו לרצפה נגרמו על ידי כח אמיתי של דחיפה שהופעל על ידי הבערת מנוע הטיל. מכאן לפי האנלוגיה שכמו בתאוצה כך בכבידה, עולה שגם בכבידה נאמר שהתחלת התנועה של חפץ נופל היא לא בגלל עיקום המרחב (וכמו שכתבתי לעיל שזה לא מובן) אלא בגלל שכח הכבידה מפעיל כח אמיתי ניוטוני על החפץ הנופל.

(ההסבר איך ייתכן שגוף מעקם את המרחב על ידי כח הכבידה שלו מוסבר היטב לפי ההסתכלות של אריסטו שהגוף רוצה למשוך אליו כל דבר. הרצון הוא מה שנקרא בפיזיקה שדה. אבל זה כבר עניין למה שכתבתי באריכות ברשימה הבאה ולא לפיזיקה מודרנית).

.

*

.
4 – כתבת שאם סרגל הואץ ומשום כך התקצר הוא התקצר לתמיד. וכן שעון שהואט הואט לתמיד.
לא הבנתי, אם סרגל הואץ והתקצר לפי היחסות הפרטית, כשהוא מואט למה שלא יתארך מאותם שיקולים עצמם?

שעון גם כן אם יואט יחזור לתקתק בקצב איטי יותר, רק כמובן זה מכאן והלאה ופער הזמנים שנוצר כשהיה במהירות גבוהה יישאר.
מה שתמוה הוא שאם הסרגל הגיע למהירות האור ממש וקיבל אורך אפס גמור, הרי הוא כבר לא קיים בעולם כחומר (גם אי אפשר לומר שהפך לאנרגיה כי הרי המסה עולה עם עליית המהירות ולא להיפך), ואז אם הוא מואט איך מאורך אפס יווצר חומר יש מאין ויהיה לו אורך.
אני לא יודע אם דבר שיש לו מסה ואורך יכול להגיע למהירות האור או רק להתקרב או לשאוף לשם. כי להגיע ממש זה אומר אורך אפס ומסה אינסוף ואולי זה לא מצב אפשרי.

.

*

.
5 – איינשטיין בספרו שם בנספח 5 כותב שצדק דקארט שאין חלל ריק, בחלל בהכרח תמיד יש שדה, וראיית ה"יש" שלנו היא כלפי שדה. נדמה לי שזה כבר מקום בו הקונצנזוס של הפיזיקאים לא נמצא עם איינשטיין ואיינשטיין תלה בזה תקוות שכנראה לא צלחו להימלט מהבעיות של תורת הקוונטים.
בכל אופן לפי איינשטיין, הבנתי שההגדרה הכללית של שדה אין הכוונה שזה מציאות של אנרגיה, אלא זה רק חוקי התנהגות של חומר או אנרגיה אם הם יהיו בשדה. בעצם שדה הוא רק פונקציה מתימטית שקובעת שאם כך אז כך וזה יחול על חומר או אנרגיה אם יהיו שם, ואם לא יהיו שם אז יהיה שם רק שדה ריק.
כמו שבהתחלה היה מובן מאליו שגל חייב חומר מתווך כי גל זה רק תיאור אופן תנועה של החומר ולא ייתכן שגל יהיה קיים בעצמו בלי חומר, ואחר כך התרגלו לומר שגל קיים בפני עצמו ועובר בריק. כך גם שדה הוא רק תיאור מתימטי של התנהגות חומר או אנרגיה ולא ייתכן שיהיה קיים בריק ואיינשטיין מנסה להרגילנו שהוא אכן קיים בריק.
בגל זה אולי יותר קל כי אנרגיה זה מצב צבירה של היש החומרי, לפי משוואת הירושימה שחומר שווה אנרגיה, ואפשר לומר שהגל הוא אנרגיה נוסעת כמו שיש חומר נוסע ויש כאן משהו לא לגמרי מופשט. אבל שדה הוא גם לא אנרגיה. זה מזכיר לי את החשיבה של אפלטון שאידיאה זה דבר שקיים במציאות, שדה הוא בעצם אידיאה והרעיון שהוא קיים במובן הקונקרטי מתחבר לי לאפלטון. מעניין אותי מאוד דעתך על החיבור, כי הנושא של אידאות במובן האפלטוני מעסיק אותי הרבה והוא בסיס לרוב מה שאני חושב וכותב.

 

מודעות פרסומת

אודות nirstern

https://nirstern.wordpress.com/
פוסט זה פורסם בקטגוריה תורת היחסות. אפשר להגיע ישירות לפוסט זה עם קישור ישיר.

תגובה אחת על קצת הרהורים בשאלות של תורת היחסות

  1. nirstern הגיב:

    לגבי הפרדוקס של ראסל
    מעתיק מויקיפדיה את הצגת הפרדוקס:
    "כדי להציג את הפרדוקס של ראסל, נאמר שקבוצה גדולה היא קבוצה הכוללת את עצמה כאיבר, וכל קבוצה אחרת (כלומר, שאיננה איבר של עצמה), היא קבוצה קטנה.
    ראסל הגדיר את קבוצת כל הקבוצות הקטנות, X, ושאל:
    האם X היא קבוצה קטנה או גדולה?
    אם X קבוצה קטנה, הרי שלפי הגדרתה כקבוצת כל הקבוצות הקטנות היא כוללת את עצמה כאיבר, אבל אז היא קבוצה גדולה לפי ההגדרה. מאידך, אם X קבוצה גדולה עליה לכלול את עצמה כאיבר, אבל זו סתירה לכך שכל האברים ב-X הם קבוצות קטנות. בכל מקרה מתקבלת סתירה. במלים אחרות, ההנחות שלפיהן הקבוצה X קיימת וחייבת להיות קטנה או גדולה, מוליכות לסתירה.
    ניסוח פופולרי ממיר את מושגי תורת הקבוצות בסיפור על הספרן הקפדן: ספרן העובר בין מדפי ספרייתו, מגלה יום אחד קובץ קטלוגים. יש שם קטלוגים נפרדים לשירה, נובלות וביוגרפיות וכו'. הספרן שם לב שחלק מן הקטלוגים כוללים את עצמם וחלק לא. הספרן מחליט להכין שני קטלוגים נוספים: רשימה של כל הקטלוגים שכוללים את עצמם, ורשימה של כל הקטלוגים שאינם כוללים את עצמם. כעת עליו לקבוע האם הקטלוג של רשימת הקטלוגים שאינם כוללים את עצמם צריך לכלול את עצמו. אם הוא מצוין בקטלוג הרי שלפי ההגדרה הוא צריך שלא להיות מצוין. אם הוא אינו מצוין הרי שלפי ההגדרה הוא כן צריך להיות מצוין. הספרן מוצא את עצמו במצב שאין לו פתרון."
    *
    "פרדוקס הַסַּפָּר הוא פרדוקס מפורסם, המיוחס לפילוסוף הבריטי ברטראנד ראסל. לגרסתו הפורמלית של הפרדוקס, שקרויה הפרדוקס של ראסל, נודעה השפעה רבה על חקר יסודות תורת הקבוצות.
    בעיירה גר ספר, המספר את כל התושבים שאינם מספרים את עצמם, ורק אותם. מי מספר את הספר?
    אם הספר מספר את עצמו, יש סתירה. שהרי הוא מספר רק את אלה שאינם מספרים את עצמם, ולכן לא אותו.
    אם הספר אינו מספר את עצמו, אזי הוא נמנה עם התושבים שאינם מספרים את עצמם, ולכן הוא מספר את עצמו. שוב סתירה.
    הפרדוקס מביא אותנו למסקנה שהעיירה מן הסיפור אינה קיימת: הנחות היסוד של הפרדוקס שגויות, ומכאן נובעת הסתירה. פרדוקס הספר הוא ניסוח פופולרי לאנטינומיה (סתירה פנימית) שאפשרית בהגדרת הקבוצה בתורת הקבוצות הנאיבית. לפי ההגדרה הנאיבית של מושג הקבוצה, קבוצת כל הקבוצות שאינן מכילות את עצמן כאיבר היא קבוצה קיימת. הגדרה זו מובילה לסתירה כיוון שהקבוצה הזו לא יכולה להכיל את עצמה, וכן גם לא יכולה שלא להכיל את עצמה. כדי להימנע מסתירות כאלו, פיתחו ארנסט צרמלו ואברהם הלוי פרנקל בתחילת המאה העשרים מערכת של אקסיומות שמתארות באופן ריגורוזי את מושג הקבוצה, וכך נמנעות מסתירות פנימיות. מערכת זו היא הבסיס לתורת הקבוצות האקסיומטית."
    עד כאן מויקיפדיה.
    *
    *
    לדעתי זה לא פרדוקס אמיתי.
    אפשר לכאורה לנסח שתהיה קבוצה הכוללת את כל הדברים שאינם כלולים בה. נגיע לפרדוקס של ראסל, אם דבר X כלול בקבוצה הרי אינו יכול להיות כלול בה כי היא כוללת רק מה שאינו כלול בה. אם דבר X אינו כלול בה הרי הוא כלול בה ושוב סתירה. זוהי בעצם מהותו האמיתית של הפרדוקס של ראסל. אין כאן שום פרדוקס, פשוט הניסוח של הגדרת הקבוצה הוא עצמו משפט שאומר דבר והיפוכו ולכן אין לו משמעות ומובן וממילא אינו יכול כלל להגדיר קבוצה, כי אינו הגדרה כלל אלא משחק מילים חסר משמעות ותוכן. כמו שאבראקדברא זו לא הגדרה של שום קבוצה.
    .
    עוד דוגמא:
    קבוצת כל המספרים הגדולים מאינסוף.
    בריבוע של מטר על מטר יש אינסוף נקודות. בריבוע של שני מטר על שני מטר יש גם אינסוף נקודות והאינסוף הזה גדול מהאינסוף הראשון. יש אינסוף אינסופים שכל אחד מהם גדול מחברו וכן הלאה.
    הטעות כאן ש "גדול מאינסוף" הוא דבר שאין לו הגדרה, ולכן הקבוצה לא יכולה להיות מוגדרת. שוב משחק מילים.
    או להגדיר קבוצה הכוללת את הערך המדוייק לחלוטין של פאי ולשאול אם היא קבוצה ריקה או לא. וכן הלאה.
    כל הגדרה של קבוצה שאין לה משמעות תביא למצב שנשאל שאלות על הקבוצה שאי אפשר לענות עליהן וזה לא פרדוקס אלא הסוואה וטישטוש של חוסר המשמעות שבהגדרת הקבוצה.
    .
    .
    "קבוצת כל הקבוצות" היא ניסוח כושל לוגית, אם נמשיך וננסה להגדיר את "קבוצת כל קבוצות הקבוצות" וכן הלאה "קבוצת כל הקבוצות שמכילות את כל הקבוצות שמכילות את כל הקבוצות" נבין את הכשל הלוגי שבניסוח כזה.
    לכן קבוצת כל הקבוצות שלא מכילות את עצמן מילא גם הא ניסוח שאינו תקף לוגית ואין להתפלא שהקבוצה לכאורה שהוא יוצר אינה באמת קבוצה ולכן אפשר לשאול עליה שאלות שאין עליהן תשובה.
    .
    ביתר ביאור, אם נמציא מתימטיקה חדשה שבה לכל המספרים המוכרים לנו נתאים את המספר 1. אינספור פרדוקסים הרי יוולדו מזה.
    אם נשאל כמה "מספר אחת" קיימים?
    זה כשל לוגי להפעיל את המתימטיקה על הביטויים המתימטיים עצמם. קבוצה כשלעצמה, במובחן מאיבריה, היא גם ביטוי מתימטי ולכן זה כשל לוגי להפעיל עליה עצמה את הניתוח של תורת הקבוצות, לעשות קבוצות של קבוצות זה כמו לנסות לספור את המספרים. הם הרי בהגדרה הסופרים ולא הנספרים. מה שאין כן קבוצות שמסויימות על ידי איברים מוגדרים וודאי יכולות להיכלל בקבוצות אחרות כמו קבוצת הכלבים וקבוצת הסוסים שנכללות בקבוצת היונקים שנכללת בקבוצת בעלי החיים וכו' וזה פשוט ואין צורך לחדש לשם כך אקסיומה.

להשאיר תגובה

הזינו את פרטיכם בטופס, או לחצו על אחד מהאייקונים כדי להשתמש בחשבון קיים:

הלוגו של WordPress.com

אתה מגיב באמצעות חשבון WordPress.com שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Twitter

אתה מגיב באמצעות חשבון Twitter שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת Facebook

אתה מגיב באמצעות חשבון Facebook שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

תמונת גוגל פלוס

אתה מגיב באמצעות חשבון Google+ שלך. לצאת מהמערכת / לשנות )

מתחבר ל-%s